Onko Kaiken Teoria nollatutkimusta?

Onko Kaiken Teoria nollatutkimusta?

Kari Enqvistin mukaan hiukkasjoukkojen ominaisuuksia kuvaavat teoriat eivät lisää mitään yksittäisiä hiukkasia ja niiden vuorovaikutuksia kuvaavaan teoriaan. Pikemminkin ne vähentävät huomattavan määrän informaatiota kaikkia yksittäisiä hiukkasia erikseen kuvaavasta teoriasta. (Tarkka sitaatti: "Emergenssi on nimenomaan ymmärrettävissä reduktionismin puitteissa ja johtuu informaation katoamisesta".) Matemaattisen realismin mukaan yksittäisten ja monien hiukkasten välinen siirtymä on pelkkä siirtymä matemaattisessa kuvauksessa. Voin tehdä siis analogian Enquistin emergenssikäsityksestä lukuteoriaan. Lukuteorian mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan "konstruoida" nolla-alkiota monistamalla (Peanon aksioomat) ja kokonaisluvut saadaan mukaan hyväksymällä negatiiviset luvut. Toisaalta murtoluvut voidaan konstruoida kokonaisluvuista, ja reaaliluvut saadaan mukaan täydentämällä murtoluvut äärettömien lukujonojen raja-arvoilla. Reaaliluvuista voidaan siirtyä moniulotteisiin vektoreihin ja ääretönulotteisiin funktioavaruuksiin samanlaisilla konstruktioilla. Funktioavaruuksien teoria on jo lähellä fyysikoiden kaiken teoriaa. Enquistin käsityksen mukaan tässä kaikessa ei lisätty mitään relevanttia informaatiota, eli "kokonaisuus on vähemmän kuin osiensa summa". Toisin sanoen, Enquistin mukaan Kaiken Teoria on sama tai vähemmän kuin nolla-alkio. Nollatutkimusta?

Reikämäisyyden laskemista ja sen sellaista

Viime blogitekstistäni on nyt lähes kolme vuotta. Kirjoittaminen ei ole koskaan ollut vahvin puoleni, useimmiten tekstiä joutuu puristamaan ulos. Joskus tosin se vain tulee jostain automaattisesti. Itse asiassa alkuperäinen blogini idea oli harjoitella vapaata kirjoittamista - vastakohtana tieteellisten artikkelien hitaalle työstämiselle. Ehkäpä siitä olisi apua toisaalta tieteen popularisoinnissa, toisaalta myös parempien tieteellisten "papereiden" kirjoittamisessa.

Olen huomenna lähdössä Espanjaan konferenssiin, jossa minulla on kutsuttu puhe. Aiheeni on itselleni uusi, se liittyy viimeaikojen fysiikan muoti-ilmiöön eli topologisiin aineisiin. En ole aiheen huippuasiantuntija, joten puheessa pitää sanat asetella tarkkaan. Kuulijoissa nimittäin noita huippuasiantuntijoita riittää.

Topologisten aineiden idean kansantajuistaminen on haasteellista. Siispä yritän sitä tässä. Fysiikassa on kaksi tapaa luokitella aineita: niiden symmetrian ja topologian mukaan. Lisäksi sitten molempia voi ilmetä niin helpommin käsitettävässä reaaliavaruudessa kuin hieman haasteellisemmassa liikemääräavaruudessa. Viimeaikainen huomio on keskittynyt erityisesti aineiden topologiseen luokitteluun liikemääräavaruudessa.

Topologinen luokittelu on kuitenkin helpointa havainnollistaa reaaliavaruudessa. Tyypillisin esimerkki on vertailla donitsia ja korvatonta tai korvallista kahvikuppia. Matemaattinen topologi laskee näiden esineiden reikien määrän. Esineiden yksityiskohtainen muoto ei ole tärkeää, koska erilaisin koordinaattimuunnoksin niitä voidaan muotoilla mielin määrin. Mutta reikiä ei saa hävitettyä koordinaattimuunnoksilla. Siten donitsi on samassa topologialuokassa korvallisen kahvikupin kanssa (yksi reikä), mutta eri luokassa kuin korvaton kahvikuppi (reikiä nolla).

Liikemäärän topologisessa luokittelussa käytetään hyväksi hiukkasten (yleensä elektronien) dispersiorelaatiota eli energian ja liikemäärän välistä yhteyttä. Vapaassa avaruudessa elektroneilla on massa, ja niiden suhteellisuusteoreettinen energia voidaan lausua muodossa

E^2 = m^2 c^4+ p^2 c^2, missä ensimmäinen termi on Einsteinin löytämä massaan liittyvä energia ja toinen on liikemäärään p liittyvä energia (c on valon nopeus). Tällaisella energialla ei ole nollakohtia liikemääräavaruudessa, eli "reikiä". Valokvantit eli fotonit ovat massattomia, joten energia on lineaarinen liikemäärän funktio: E=cp. Tällaisella relaatiolla on nollakohta (kun p=0), joka vastaa tuota topologisen luokittelun reikää. Koordinaattimuunnoksilla ei reikien määrää pysty muuttamaan, eli tuo määrä on hiukkasia luokitteleva ominaisuus. Itse asiassa hiukkasfysiikassa hiukkaset voidaan luokitella niiden topologisten varausten mukaan.

Väliaineissa elektronien dispersiorelaatio on vapaata avaruutta monimutkaisempi. Eristeissä energialla ei ole nollakohtia, vaan suhteellisuusteoreettista massatermiä vastaa niiden energia-aukko johtavuus- ja valenssivyön välillä (tai itse asiassa tuo aukko on kaksi kertaa tuon energian massatermin kokoinen). Johteilla on nk. Fermi-pinta, jossa energia on nolla. Fermi-pinnalle voidaan määritellä nk. topologinen invariantti, joka kuvaa tuota dispersiorelaation reikäisyyttä. Viimeisen vuoden aikana on kiinnostuttu semimetalleista (en tiedä onko puolimetalli oikea käännös, koska on olemassa myös "half-metal" -niminen aine). Kun metalleissa Fermipinnan dimensio on yleensä yhden avaruuden dimensiota pienempi (esim. kolmiulotteisten rakenteiden Fermipinta on kaksiulotteinen), puolimetalleissa se on tätä pienempi, eli kolmiulotteisissa materiaaleissa joko nollaulotteinen piste tai yksiulotteinen viiva. Tunnetuin esimerkki on kaksiulotteinen grafeeni (ks. aikaisemmat blogini), jonka elektronien dispersiota kuvaa kartiomainen Diracin dispersio - eli sama kuin fotonilla paitsi että valonnopeus on muutettu Ferminopeudeksi. Liikemääräavaruudessa on siis piste jossa energia menee nollaan. Nyt topologinen invariantti ei kuitenkaan mittaa pelkästään nollien määrää, vaan myös niiden laatua. Lineaariselle dispersiolle E=vp invariantti saa arvon yksi. Kaksitasografeenissa dispersio onkin kvadraattinen, muotoa E=a p^2, missä a liittyy tasojen väliseen kytkentään. Tässä tapauksessa topologinen invariantti on sitten kakkonen.

Viimeaikojen muodikkain materiaali ei ole metalli tai puolimetalli vaan topologinen eriste. Tällaisessa eristeessä johtavuustaso ja valenssivyö ovat vaihtaneet roolia, ja tästä aiheutuen materiaalille on voitu määritellä oma topologinen invarianttinsa. Topologisesti mielenkiintoiset ja triviaalit eristeet siis poikkeavat toisistaan.

Mielenkiintoiseksi topologiset aineet tekevät niiden reunatilat. Kun reikäistä materiaalia ei matematiikassa voi jatkuvilla muunnoksilla muuntaa reiättömiksi, fysiikassa topologisesti mielenkiintoista (eli jossa topologinen varaus on vaikkapa yksi) ainetta ei saa topologisesti triviaaliksi millään adiabaattisella muunnoksella eli sellaisella joka säilyttää systeemin perustilassaan. Tästä syystä topologisesti mielenkiintoisen (esim. topologisen eristeen tai puolimetallin) ja topologisesti triviaalin (esim. vakuumin) välille muodostuu nollaenergiatila, joka kuvaa siirtymää kahden eri topologisen varauksen omaavien systeemien välillä. Nuo reunatilat määrittävät useita topologisten materiaalien ominaisuuksista, mikä siis kiinnostaa fyysikoita. Yksi esimerkki tästä on vastikään ehdottamamme idea topologisesti suojatusta korkean lämpötilan pintasuprajohtavuudesta. Mutta siitä lisää ehkäpä joskus myöhemmin.

Reduktio vastaan emergenssi

Olen menossa keskustelemaan Luonnonfilosofian seuran tilaisuuteen Karin Enqvistin kanssa reduktiosta ja emergenssistä. Julkaisen tämän tekstin vasta tilaisuuden jälkeen, jottei Kari vahingossa eksy tänne etukäteen ja saa mahdollisuutta valmistaa vasta-argumentteja. Esiintymis- ja filosofointikokemuksen suhteenhan olen täysi altavastaaja.

Vedettynä äärimmilleen reduktionistien argumentti on se, että ymmärrämme luonnon jos ymmärrämme sen mikroskooppisimmat peruslait. Emme siis ymmärrä jotain luonnosta, vaan luonnon. Tämän vuoksi hiukkasfyysikoiden etsimää gravitaation ja standardimallin yhdistävää teoriaa sanotaan yleisesti Kaiken teoriaksi. On esitetty paljon argumentteja, joiden perusteella Kaiken teorian kehittäminen olisi "fysiikan loppu". Toisaalta, jos viime viikolla käynnistetty LHC ei anna vinkkejä siitä mistä suunnasta kaiken teoriaa pitäisi kehittää, "fyysikot ovat kriisissä".

Ja paskat. Jaa - tuota sanaa ei varmaan ylihuomisen keskustelussa pitäisi käyttää. Väitän, että "kaiken teoriasta" ei ole mihinkään ilman efektiivisiä teorioita. Kari Enqvistin mukaan nuo efektiiviset teoriat ovat "vähemmän kuin osiensa summa", koska ne perustuvat karkeistukseen (coarse graining) ja keskiarvostukseen. Mutta juuri nuo keskiarvot ovat niitä emergenttejä ominaisuuksia. Ei siis niinkään se kuinka suuri tuo keskiarvo on, vaan se mikä suure keskiarvostuu.

Lähtökohta on vähän niinkuin minä koulun käsityötunnilla. Opettaja antoi osat, ja minä periaatteessa pystyin rakentamaan niistä toimivan sähkömoottorin. Mutta vain periaatteessa - annetun ajan puitteissa.

Otetaanpa esimerkki nanoelektroniikasta, kubittienkin osina käytetyistä suprajohtavista yksielektronitransistoreista. Noita rakenteita kuvaa olennaisesti kaksi rakenneparametria - varautumisenergia ja suprajohtavaa kytkentää kuvaava Josephson-energia - ja kaksi tilasuuretta, yksielektronitransistorin efektiivinen varaus ja sen suprajohtavan järjestysparametrin vaihe. Nuo kaksi suuretta ovat Kari Enqvistin mainitsemia makroskooppisia keskiarvosuureita. Mutta nepä eivät ole toisistaan riippumattomia. Näitä rakenteita kuvaavasta efektiivisestä teoriasta tiedämme, että varaus on "hyvä kvanttiluku" eli hyvin määritelty kun varautumisenergia on paljon suurempi kuin Josephson-energia, ja vastaavasti vastakkaisella rajalla vaihe on hyvin määritelty. Hyvin määritelty suure tarkoittaa sitä, että kyseinen suure ei olennaisesti vaihtele, fluktuoi, ajassa. Kvanttimekaniikka nimittäin aikaansaa suureisiin epämääräisyyttä, jota voidaan kuvailla noilla fluktuaatioilla. Varauksen ja vaiheen fluktuaatioiden suuruudet riippuvat siis rakennetta kuvaavista parametreista. Ja kyllä: varauksen ja vaiheen määrittäminen on olennaista rakenteen ymmärtämiselle.

Joku voisi sanoa, että tuo suprajohtavan saarekkeen kuvailu voitaisiin periaatteessa johtaa standardimallista. Ei voitaisi. Minä määrittelen mielelläni tuon johdettavuuden sen perusteella voidaanko tämä johtaminen tehdä ihmisen kannalta mielekkäässä ajassa - tai edes maailmankaikkeuden kannalta äärellisessä ajassa. Ja juuri tuota ei käytännössä voida tehdä - ellei sitten itse suprajohtavaa saareketta kutsuta kyseisen laskun tekeväksi tietokoneeksi. Mutta jos sanomme, että luonto laskee itse suuresta yhtenäisteoriasta saatavat tulokset, voimme heittää koko tieteen romukoppaan.

Jotkut ymmärtävät emergenssin niin, että hiukkasjoukon käyttäytymiseen pitää lisätä jotain ulkoapäin, jotta se käyttäytyy niinkuin käyttäytyy. Tämä muuten pätee ihmisen biologiassa (ainakin osittain), jossa fundamentaaliksi teoriaksi voidaan kutsua genomia, ja efektiivisiksi teorioiksi solujen erilaistumista. Erilaistumiseen ainakin jonkin verran taitaa vaikuttaa solujen ympäristö - ei vain rinnakkaiset solut, vaan koko ihmisen ympäristö. Mutta fysiikassahan näin ei ole. Periaatteessa joukon ominaisuudet voidaan johtaa yksilöistä - ainakin jollemme ota mukaan johdettavuuden määritelmään yllämainitsemaani laskettavuutta järkevässä ajassa.

Olennaisempi kysymys reduktion ja emergenssin suhteesta on se kummassa syntyy enemmän ymmärrystä eli kumpi on olennaisempaa luonnon ja sen ilmiöiden ymmärtämisessä. Äärireduktionistit ajattelevat, että olennaista on vain kaiken teorian etsiminen. Lee Smolinin kirjan "Trouble with Physics" mukaan, muu on "inkrementaalista tiedettä", se lisää tietoamme maailmasta, mutta ei muuta tietämyksen perusperiaatteita. En ole samaa mieltä. Yksi olennaisimmista kontribuutioista mitä teoreettinen fyysikko voi tehdä tieteelle on nimetä jokin uusi ilmiö tai jokin uusi suure - tehdä uusi efektiivinen teoria, joka kuvaa joitain tiettyjä kokeita - tai pikemminkin antaa ennusteen siitä mitä annetussa koejärjestelyssä voisi odottaa mittaustuloksena. Usein tällaiset efektiiviset teoriat ovat konstruktioita, eli ne vastaavat kysymykseen jonka niiden esittäjä on itse keksinyt. Mutta olennaista on myös löytää järkevä kysymys.

Vielä yksi esimerkki reduktio-ohjelman ongelmista. Suprajohtavuus löydettiin vuonna 1911, sille kehitettiin monenlaisia efektiivisiä teorioita jotka osittain kuvasivat sen eri puolia, kunnes Bardeen, Cooper ja Schieffer vuonna 1957 julkaisivat sille kyllin mikroskooppisen efektiivisen teorian, joka olennaisesti selitti kaikki siihen mennessä saadut konsistentit havainnot. Mutta tuossakin teoriassa oli joitain efektiivisiä elementtejä - kuten esimerkiksi elektroniparien välille tuleva, virtuaalisesta fononivaihdosta johtuva attraktiivinen vuorovaikutus. Jo yli vuosikymmenen tuota efektiivistä vuorovaikutusta on yritetty johtaa hieman enemmän "pohjalta" käyttäen nk. tiheysfunktionaaliteoriaa. Vaikka "oikea vastaus" on ollut tiedossa, ja siten teoriaa on osattu suunnata oikeaan suuntaan, ei tuolla enemmän reduktionistisella lähestymistavalla ole kovinkaan paljoa ennustevoimaa. Käsittääkseni jotain jo ymmärrettyjä tuloksia on voitu johtaa, mutta mitään uutta ei ole pystytty ennustamaan.

Summa summarum: vaikka periaatteessa voi olla, että kaikki luontoilmiöt voidaan johtaa jostain yksittäisestä fundamentaalista teoriasta, tuohon johtamiseen ilman lisäymmärrystä tarvitaan enemmän kuin maailmankaikkeuden ikä. Fundamentaalisen teorian löytyminen ei siis tarkoita efektiivisen fysiikan loppua!

Loppukommentti keskustelun jälkeen: En usko Enkvistin olevan kovin paljoa eri mieltä ylläolevasta, mutta hän edelleen painottaa tuota periaatteellista johdettavuutta. Mutta fysiikassa ainoastaan sellaisilla periaatteilla on merkitystä, joista on voi vetää jotain johtopäätöksiä. Pystytäänkö siis biologiaa selittää standardimallilla? Ehkä periaatteessa, käytännössä ei varmasti. Ai niin, yleisön käsiennostoäänestyksen jälkeen voitin väittelyn - tosin tämä taisi johtua siitä että yleisössä oli useita "antireduktionistejä", jotka ovat voimakkaasti reduktionistista ohjelmaa vastaan.

Ovatko fundamentaalitkin teoriat efektiivisiä?

Olen jutellut Delftissä vierailulla olevan brasilialaisen teoreettisen fyysikon kanssa. Hänellä on Delftissä todella kiehtova projekti: tarkoitus on tutkia sähköisten piirien teoriaa polkuintegraaliformalismissa, erityisesti luoda metriikka piirejä kuvaaville efektiivisille kentille. Tämä on haastavaa, koska yleisesti ottaen fyysikot osaavat laskea vain kvadraattisia polkuintegraaleja, joiden metriikka on melko triviaali. Pienissä sähköisissä piireissä vuorovaikutukset tekevät ongelmasta ei-kvadraattisen, ja siten metriikka muuttuu.

Yritän nyt selittää projektin takana olevan filosofian. Jos selitys menee yli hilseen, se saattaa johtua siitä että en sitä täysin itsekään ymmärrä. Juuri siksi kirjoitan tätä selitystä. Yllämainitsemani keskustelun lisäksi innoituksenani on ollut MIT:n professorin (?) Xiao-Gang Wenin kirjan "Quantum Field Theory of Many-Body Systems" ensimmäinen luku, joka löytyy myös webistä.

Koulussa opimme, että perustavimmalla tasollaan modernin fysiikan käsityksen mukaan maailmankaikkeus koostuu joistain perushiukkasista ja niiden välisistä vuorovaikutuksista. Näitä hiukkasia ja vuorovaikutuksia kuvaava teoria on kvanttimekaniikka, joka on eräänlainen sääntökokoelma jonka avulla hiukkasista ja vuorovaikutuksista päästään havaittuihin suureisiin, observaabeleihin. Gravitaatiota eli painovoimaa lukuunottamatta ei ole löydetty ilmiötä jonka olisi voitu näyttää rikkovan tätä hiukkasten, vuorovaikutusten ja kvanttimekaniikan kolmiyhteyttä eli niinkutsuttua standardimallia. Mutta voimmeko kuvitella että vaikkapa metson soidinpuuhat voidaan selittää yksinomaan näillä aineksilla? Metso koostuu arviolta 10^(24) "alkeishiukkasesta". Kuten Wen toteaa kirjassaan, jo 200 vuorovaikuttavan elektronin systeemin dynamiikan laskemiseen täsmällisesti nykylaskutekniikoilla tarvittaisiin koko tunnetun maailmankaikkeuden kokoinen tietokone. Selvitäpä siinä sitten toimiiko standardimalli. Voi olla että toimii, mutta eipä siitä tuolla tasolla enää ole paljoa hyötyä.

Pelastukseksi tulevat efektiiviset teoriat. Niiden mukaan meidän ei tarvitsekaan tietää kaikkien 10^(24) hiukkasen dynamiikkaa kuvaillaksemme täsmällisesti haluamaamme ilmiötä. En nyt uskottele että metson soidinpuuhia tällä tavoin selitetään, mutta sen soluissa tapahtuvia ilmiöitä kylläkin. Yksi tällainen ilmiö on sähkönjohtavuus. Tehdäksemme teoriaa sähkönjohtavuudesta emme tarkalleen ottaen aloita yksittäisistä vuorovaikuttavista atomeista ja elektroneista. Osa teorian osista kuten kiteiden vyörakenne perustuu kyllä mikroskooppiseen malliin, mutta sähkönjohtavuuden selitykseen emme tarvitse juuri sitäkään (paitsi silloin kun haluamme erotella toisistaan eristeet ja metallit). Osoittautuu, että voimme olettaa metallien johtavuuselektronit lähes vapaiksi hiukkasiksi, jotka liikkuvat metalliatomien muodostamassa efektiivisessä vakuumissa (tyhjiössä). Tuo vakuumi on efektiivinen, koska suurilla energioilla se rikkoutuu. Jos siis esimerkiksi ajamme metallin läpi oikein suurta virtaa, kiteen lämpöliike kasvaa ja se saattaa sulaa. Tällöin vakuumi hajoaa. Okei, elektronit ovat siis vapaita, mutta äärellinen johtavuus johtuu kiteen epämuodostumista ja värähtelyistä. Tällainen teoria kuvaa erittäin hyvin johtumista.

Se että teoria on efektiivinen ei tarkoita ettei sen tarvitsisi olla tarkka. Puolijohdetekniikassa (ja nykyään grafeenissa) osataan rajoittaa elektronien kulku tasoon eli kahteen ulottuvuuteen. Tällöin meillä on vapaita elektroneja tasossa, ja efektiivinen teoria toimii jälleen. Nyt jos asetamme tällaisen elektronisysteemin suureen magneettikenttään, johteeseen muodostuu nk. Landau-tasoja. Tämä on kvantti-Hall -ilmiö. Osoittautuu että tuloksena Landau-tasoista johteen vastus kvantittuu Planckin vakion ja elektronin varauksen määräämään arvoon (n. 25.6 kOhmia). Vaikka tämä arvo saatiin "vain" efektiivisestä teoriasta, se on niin tarkka että kvantti-Hall -mittauksen avulla on määritelty resistanssin standardi, ja sen avulla on pystytty mittaamaan Planckin vakio tarkemmin kuin millään muulla keinoin. Selvitetty tarkkuus on muistaakseni noin yhdeksän merkitsevää numeroa, mutta tässäkin vastaan on tullut käytettyjen mittalaitteiden tarkkuus, ei niinkään itse efektin.

Nyt pääsenkin sitten viimein otsikkoni asiaan. Tiiviin aineen fysiikka on täynnä ilmiöitä, joissa efektiivinen teoria kuvaa tutkittua ilmiötä erittäin tarkkaan. Läheskään aina kyseistä teoriaa ei ole pystytty täysin allaolevasta "fundamentaalimmasta" teoriasta johtamaan. Moni tällainen efektiivinen teoria on yksinkertainen ja - Wenin sanoin - kaunis. Itse asiassa paljon yksinkertaisempi kuin se allaoleva teoria, joka johtavuuden tapauksessa vaatii kiderakenteen, elektronien vyörakenteen, Landaun kvasihiukkasteorian ja monen muun osasen ymmärtämisen. Mistä siis tiedämme että standardimallin kuvaama teoria on "fundamentaalinen", eli ettei sen alla ole enää mitään? Se voi olla ihan yhtä hyvin efektiivinen teoria, jossa elektronit, kvarkit, fotonit ja muut syntyvät allaolevan teorian matalaenergiarajana.

Wen lainaa myöskin 2500 vuotta sitten elänyttä kiinalaista filosofia Lao Zitä. Tämän ajatus modernin fysiikan kielelle sovellettuna on: kaikki maailmankaikkeutta kuvaavat teoriat jotka voidaan formuloida ovat epätäydellisiä ja jonkin suuremman teorian yksinkertaistuksia. Silti ne ovat hyödyllisiä, koska ne auttavat ymmärtämään maailmankaikkeuden rakennetta paremmin.

Voisin muuten vetää aasinsillan Suomen fyysikkopiireissä melko yleiseen innostukseen laskea suurten systeemien ominaisuuksia ab initio eli joistain elementaareista lähtökohdista käsin. Tämänkaltaisessa "teoriassa" se jolla on suurin tietokone on paras "teoreetikko", koska hän voi simuloida suurinta systeemiä. Minusta kuitenkin fysiikan ymmärtämisen kannalta paljon hyödyllisempää on etsiä efektiivinen teoria joka kuvaa systeemiä mahdollisimman hyvin. Brasilialaisen ystäväni mukaan tällainen teoria koostuu vain ja ainoastaan niistä osasista joita halutaan kuvata - vain niistä observaabeleista tai kentistä joita havaitaan tai manipuloidaan. Tällaisia on tyypillisesti paljon vähemmän kuin 10^(24).

Muoti-ilmiöitä: molekyylielektroniikka

Vierailin kesäkuun alussa Leidenin yliopistossa. Siellä toimii yksi ainakin Euroopan parhaista molekyylielektroniikan kokeellisista tutkimusryhmistä. Minäkin tein alalla tutkimusta jonkin aikaa muutama vuosi sitten, joten oli mukava saada päivitys alan tilanteeseen.

Molekyylielektroniikassa ideana on tutkia sähkönkuljetusta yksittäisten tyypillisesti melko pienten molekyylien läpi. Hiilen nanoputketkin voidaan periaatteessa ajatella molekyyleiksi, ja joissain tapauksissa niidenkin tutkimus luokitellaan molekyylielektroniikkaan. Minä jätän kuitenkin ne omaksi alakseen ja kirjoitan kokeista joissa molekyylit ovat korkeintaan muutaman nanometrin kokoisia - esimerkiksi fullereeneja (hiilen pallomaisia rakenteita), bentseenirenkaita tai vaikkapa vetymolekyylejä.Tekniikoita on useita ja alalla on tätä kautta useita suuntauksia. Yksi olennainen kysymys on se miten molekyyliin saadaan kytkettyä sellaiset suuret johtimet joiden kautta sähkö saadaan ajettua molekyylien läpi. Tässä tapauksessa kaksi tekniikkaa on ylitse muiden: murtoliitokset ja sähkömigraatio (en tiedä mitä electromigration on suomeksi). Murtoliitoksen tapauksessa tehdään joillain keinoin melko ohut johdelanka, jota sitten työnnetään ylöspäin terävällä kappaleella. Ensin lanka hieman joustaa, mutta pian se alkaa murtua yleensä siis heikoimmasta kohdastaan. Kun samaan aikaan mitataan langan vastusta, tiedetään koska lanka on murtunut siten että sähkö virtaa vain yksittäisten johdinatomien läpi. Nyt sitten johtimen päälle tuodaan molekyylit, joko höyrystämällä tai sitten liuoksessa, riippuen mm. siitä aiotaanko johtavuutta mitata huoneen lämpötilassa vai muutamassa Kelvinissä. Neljässä kelvinissä kun mikään liuos ei enää ole liuos - paitsi tietenkin helium, joka tällöin nesteytyy. Siihen ei kuitenkaan liukene mitään.

Elektromigraatiossa aloitetaan myös ohuesta langasta, mutta tällöin sen yli asetetaan suuri vaihtojännite. Tämä kuumentaa lankaa ja tuloksena se taasen katkeaa yleensä ohuimmasta kohdastaan. Elektromigraation etuna on se ettei langan työntämiseen tarvittavaa laitetta tarvita ja siten esim. mittaukset kylmässä ovat helpompia. Haittapuolia ovat sitten esim. se ettei johtimen muotoa voi enää muuttaa, ja - vielä vakavampana - usein luultujen molekyylien sijaan kokeilija tuleekin mitanneeksi sähkönkuljetusta elektromigraatiossa irronneiden johdeatomien läpi. 1990/2000-luvun vaihteessa julkaistiin useita sellaisia Nature- ja Science-artikkeleita, joissa tulkittiin mittaustulokset väärin. Molekyylin sijaan mitattiin siis itse johdetta.

No, ylläkuvaillut tekniikat kuitenkin myös toimivat. Johtavuus rajoittuu yksittäisen molekyylin johtavuudesta. Alun perin ideana alalla oli se että johtavuuden - tai tarkemmin ottaen virta-jännitekäyrän - perusteella voitaisiin sitten tunnistaa kyseinen molekyyli. Tällaista nopeaa molekyylitunnistusta voisi sitten käyttää vaikka mihin - esimerkiksi lääketieteessä. Tässä suhteessa molekyylielektroniikassa on kuitenkin jouduttu pettymään. Kun pieni molekyyli kiinnittyy johdinatomeihin, sen ominaisuudet muuttuvat voimakkaasti kytkennän ansiosta. Johtavuus saattaa myös riippua molekyyliin kiinnitetyn johdemateriaalin mikroskooppisista ominaisuuksista. Toistettavia tuloksia on siis hankala saada, ja yleensä saatavat tulokset eivät ole kovin molekyylispesifisiä. Pitkien molekyylien tapauksessa saattaa olla että jos johtavuus on äärellistä, se joko rajoittuu taasen molekyyli-johdinkytkennästä joka on hieman tapausriippuvainen, tai sitten kuljetusta dominoi Coulombin saartoilmiö, jonka luonnetta ei voida suoraan kytkeä eristetyn molekyylin ominaisuuksiin.

Joitain mielenkiintoisia ja molekyylispesifistä on kuitenkin havaittu jo muutama vuosi sitten. Juuri Leidenin tutkijat osoittivat, että virta-jännitekäyrään tulee piikki molekyylin ominaisvärähtelyjen taajuutta vastaavan energian kohdalle. Nuo ominaisvärähtelyt riippuvat molekyylin muodosta ja massasta, eli ne periaatteessa paljastavat molekyylistä aika paljon enemmän kuin puhdas johtavuus. Vetymolekyylistä on mm. mitattu isotooppiefekti, eli ominaisvärähtelytaajuus oli deuteriumin (jolla vetyatomin ytimessä on yksi protoni ja yksi neutroni tavallisen yksiprotonivedyn sijaan) tapauksessa erilainen kuin tavallisen yksiprotonivedyn. Ero johtui yksinomaan deuteriumin suuremmasta massasta. Värähtelytaajuuksia analysoimalla molekyyliä voidaan siis osittain tunnistaa. Homma kuitenkin epäonnistuu isojen molekyylien tapauksessa - värähtelytaajuuksia kun tulee liikaa eivätkä ne enää erotu toisistaan.

2000-luvun alun alkuinnostuksen jälkeen molekyylielektroniikka on ehkäpä hieman hiipunut, mutta kyllä siellä paljon hienoja tuloksia on saatu. Minulle teoreetikkona ala on kuitenkin hieman tylsä: kvalitatiivisesti kuljetusilmiöt vaikuttavat hyvin samanlaisilta kuin puolijohdekvanttipisteissä joiden kuljetusominaisuuksia on tutkittu intensiivisesti 1980-luvulta lähtien. Suuria kvalitatiivisia läpimurtoja on siis erittäin hankala tehdä. Olennaisimmat avoimet kysymykset ovat vahvan kytkennän rajan ja Coulombin saartoalueen yhdistäminen sekä tiheysfunktionaaliteorian tai vastaavan ainetta "alusta lähtien" kuvaavan teorian kytkeminen kunnolla elektronikuljetusteoriaan. Ongelmana jälkimmäisessä on se, että vaikka teoria yleisesti ottaen mielletään "ab initio"-tyyppiseksi, kuljetusongelmaa ratkaistaessa tehdään monta ad hoc. oletusta, joille ei ole kovin paljoa perusteita.

Leidenin tutkijoiden mukaan muuten yksi mielenkiintoisimmista tulevaisuuden tutkimusaiheista on yksi lempiaiheeni, lämpötroniikka liittyen molekyylikuljetukseen. Toisin sanoen mielenkiintoista on tietää minkälaisia ominaisuuksia epätasapainotilanteessa johtavuuselektroneilla on - esimerkiksi missä tilanteissa voidaan puhua niiden lämpötilasta. Itse asiassa epätasapainosysteemeissä on yleensä useita olennaisia lämpötiloja - elektronien, fononien, kohinan jne. Mutta tästä joskus myöhemmin.

Onko tyhjä tyhjää täynnä?

Luin juuri uusimmasta Tiede-lehdestä Jukka Maalammen kirjoituksen hiukkasfysiikan ja kosmologian ratkaisemattomista ongelmista. Teksti jatkui kirjoituksella atomiteorian luomasta tyhjyyden tunteesta: tyypillisesti noin yhden Ångströmin (millimetrin kymmenesmiljoonasosa) kokoisen atomin "täyttävät" sen ydin, jonka läpimitta on luokkaa yksi femtometri - eli Ångströmistä vielä viisi kertaluokkaa alaspäin, sekä elektronit joita ajatellaan pistemäisiksi. Suurin osa atomista ja sitä kautta aineesta on siis tyhjää.

Mutta mitä on tyhjyys? Ajatellaan että olet valtavan suuressa liikuntasalissa, jossa ei ole itsesi lisäksi ketään muuta. Ympärilläsi on siis suunnaton määrä tyhjyyttä - voit juosta eteenpäin niin pitkään kuin haluat törmäämättä mihinkään. Mutta jonkin aikaa juostuasi huomaat, että väsyt. Jouduit tekemään työtä ylläpitääksesi vauhtisi, koska ilma aikaansai sinuun ilmanvastusta ja salin lattia kitkaa. Suurin piirtein tällaista on fyysikkojen kuvaama atomin "tyhjyys": se saattaa edelleen koostua jostain, mutta se jokin ei vain vuorovaikuta kovin vahvasti esimerkiksi elektronien ja ytimen kanssa. Voi olla että tarkkaan asiaa selvittämällä (fyysikon kielellä "tarkka" tarkoittaa usein korkeita energioita) tyhjyydestä löytyykin jotain. Olennaista on siis vuorovaikutuksen voimakkuus, ei jonkin aineen "koko".

Aika samantyyppinen tilanne kuin atomissa löytyy myös yhdestä mesoskooppisen elektroniikan perustutkimuskohteesta, kvanttipisteestä. Kvanttipisteen määrittävät "makroskooppiset" porttielektrodit, joiden aikaansaama sähköstaattinen voimaprofiili voidaan muotoilla halutunlaisesti. Kvanttipisteessä tämä tapahtuu siten, että rajatun alueen keskelle muodostuu potentiaalikuoppa - alue, jossa elektroni voi liikkua vapaasti. Potentiaalikuopan ympärillä on potentiaalivalli - alue joka on kielletty elektroneilta. Kvanttimekaniikka antaa elektroneille luvan silloin tällöin tunkeutua potentiaalivallin läpi, tunneloitua, ja sitä kautta potentiaalikuopan elektronimäärä voi muuttua. Tyypillisessä rakenteessa tämä tapahtuu suurella todennäköisyydellä yksi kerrallaan. Kun kontakti ulkomaailmaan on tarpeeksi pieni, potentiaalikuopan elektronimäärän muuttaminen yhdellä muuttaa kuopan sähköstaattista energiaa suuresti. Tällaista energiaa kutsutaan yhden elektronin varautumisenergiaksi, ja se voidaan lausua liitoksen kapasitanssin C avulla muodossa e^2/(2C). Itse asiassa tuota relaatiota voidaan käyttää kyseisen liitoksen kapasitanssin määrittelemiseen, mutta ei siitä sen enempää. Esimerkiksi noin sadan nanometrin levyisen ja viidenkymmenen nanometrin syvyisen sekä parin nanometrin paksuisen liitoksen yhden femtofaradin kapasitanssia vastaa noin sadan mikrovoltin energia. Sata mikrovolttia vastaa runsasta yhtä kelviniä lämpötilassa. Siis jos liitos on alle kelvinin lämpötilassa, yhden elektronin siirtäminen kvanttipisteeseen estää enempien elektronien siirtymisen. Tätä ilmiötä kutsutaan Coulombin saarroksi.

Tarinan opetus on seuraava. Tyypillisten kvanttipisteiden kokoluokka on satoja nanometrejä, ja liitostenkin se 50x100 nm. Tuohon kokoluokkaan mahtuu miljoonia atomeja. Silti yksi elektroni ja sen vuorovaikutus ympäristön kanssa määrää systeemin pääasialliset ominaisuudet. Okei, tässä tapauksessa kyse oli yhden elektronin lisäämisestä muiden elektronien lisäksi. Mutta hieman yllämainittua pienemmissä puolijohderakenteissa tai hiilinanoputkissa alue voidaan kokonaan tyhjätä elektroneista. Silloin meillä on vain yksi (tai nolla) johtavuuselektroni koko potentiaalikuopassa, mutta sen vuorovaikutus ympäristön kanssa on niin vahva että se määrää koko alueen ominaisuudet - esimerkiksi estäen muiden elektronien pääsyn potentiaalikuoppaan. Elektronimäärää laskien potentiaalikuoppa on siis lähes "tyhjä", mutta muiden elektronien kannalta se on täynnä. Kyse on siis näkökulmasta.

Kvanttipisteet ovat "emergenttejä", joko luonnon tai suoraan ihmisen rakentamia olioita. Niitä sanotaankin usein keinotekoisiksi atomeiksi. Täysin sama fysiikka näkyy kvanttipisteissä kuin atomeissakin, edellisissä sitä pystyy vain ohjaamaan paremmin koska energiaskaalat ovat paljon pienempiä. Kvanttipisteen voi periaatteessa hajottaa atomeiksi, mutta ovatko atomit loppujen lopuksi niin kauhean paljon fundamentaalisempia kuin kvanttipisteet?

Kvanttimekaniikka antaa muuten hauskan ratkaisun pseudofilosofiseen kysymykseen onko puoliksi juotu vesilasi puoliksi täynnä vai puoliksi tyhjä. Kvanttipiste voidaan nimittäin asettaa tilanteeseen, jossa on yhtä todennäköistä että siellä on nolla tai yksi elektronia (tai 1000 tai 1001, sillä ei ole niin väliä). Se voi siis olla yhtä todennäköisesti "tyhjä" tai "täynnä". Tällaista tilannetta sanotaan degeneraatioksi, ja tuo tilanne on mielenkiintoinen esimerkiksi kvanttilaskennassa. Sopivassa tilanteessa kvanttipiste voi nimittäin mennä superpositiotilaan tyhjän ja täyden tilan välillä. Se on siis samaan aikaan täysin tyhjä ja täysin täynnä. Siihen onko tuo sitten optimismia, pessimismiä vai realismia saavat sitten filosofit vastata.

Muoti-ilmiöitä II: grafeeni

Tätä nykyä suurin muoti-ilmiö tiiviin aineen fysiikassa taitaa olla grafeenin tutkiminen. Vuonna 2004 Manchesterissä toiminut tutkimusryhmä keksi kuinka esim. lyijykynässä käytettävän tasomaisen hiilirakenteen grafiitin tasoja voidaan eristää yksi kerrallaan. Tekniikka on idealtaan yllättävän yksinkertainen ja kuulostaa kotikutoiselta: grafiitista irrotetaan tasoja teipillä! Sen päälle siis asetetaan teippi, vedetään se pois, ja asetetaan teippi sopivan substraatin päälle. Sitten teippi liuotetaan jotenkin pois (tätä vaihetta en itse asiassa tiedä kovin tarkkaan). Tämän jälkeen tarkastellaan substraatin päälle syntynyttä rakennetta mikroskoopilla. Osoittautuu, että jos substraatti on sopivan paksuinen, sen päällä olevan grafiitin optinen vaste riippuu voimakkaasti hiilitasojen määrästä. Irronneita hiilitasoja on luonnollisesti vaihteleva määrä: joissain kohdissa hiilitasoja on kymmenen päällekkäin, joissain viisi, joissain kaksi ja joissain vain yksi. Näistä kaksi viimeistä ovat erityisen kiinnostavia. Yhden hiilitason kohdalla puhutaan grafeenista, kahden tason kohdalla "kaksitasografeenista".

No mikä tekee grafeenin mielenkiintoiseksi muuten kuin tietenkin se, että se on puhtaasti kaksiuloitteinen rakenne? Grafeenissa hiiliatomit asettuvat kuusikulmiohilaan vähän kuten hunajakennoissa. Näin yksikkökopissa (joita toistelemalla saadaan koko grafeenihila) on kaksi atomia. Osoittautuu, että näistä kahdesta atomista tulevat johtavuuselektronit saavat oman emergentin vapausasteen, "pseudospinin". Normaalin spinin lisäksi elektroneilla on siis tällainen ylimääräinen säilyvä kvanttiluku. Tämän lisäksi tapahtuu muutakin erikoista: Normaaleissa johtimissa elektronien dispersiorelaatio (energian ja liikemäärän välinen suhde) on neliöllinen - tämä on lukiosta tuttu kaava E=p^2/(2m) tai E=1/2 mv^2. Tällainen laki on sopusoinnussa pyörähdyssymmetrian kanssa: mikään erityinen suunta ei ole muihin nähden mitenkään erityinen. Grafeenissa dispersiorelaatio on kuitenkin lineaarinen, eli E=v_F p, missä vakionopeutta v_F kutsutaan Ferminopeudeksi. Pyörähdyssymmetrian on rikkonut grafeenihila, mutta inversiosymmetria on olemassa: grafeenissa on tuosta pseudospinistä johtuen kaksi suuntaa, johon menevillä elektroneilla on vastakkainen suunta, mutta eri energia. Koska ylläolevista neliöllisistä kaavoista massa saadaan derivoimalla energiaa kahdesti liikemäärän tai nopeuden suhteen, toinen tapa kuvata grafeenin dispersiorelaatiota on sanoa, että elektronit ovat massattomia.

Analogia grafeenin dispersiorelaatioon löytyy suhteellisuusteoriasta. Dirac kehitti vuonna 1928 erityisen suhteellisuusteorian kanssa yhtäpitävän (ts. Lorentz-kovariantin) kvanttimekaanisen teorian. Osoittautuu, että grafeenin elektronien liikeyhtälö on täsmälleen sama kuin Diracin yhtälö massattomille hiukkasille - esimerkiksi neutriinoille! Tämän lisäksi rajoituksena on tietenkin grafeenin kaksiulotteisuus. Toisin sanoen, grafeenin elektronit ovat kuin tasossa lentäviä neutriinoita! Tosin valon nopeus pitää korvata yllä mainitsemallani Ferminopeudella, joka on sata kertaa valon nopeutta pienempi.

Jos yhtälöt ovat samanlaisia, myös niistä johdetut ilmiöt ovat samankaltaisia. Yksi tällainen oli ruotsalaisen fyysikon Oskar Kleinin (sama mies kuin Klein-Gordon -yhtälössä tai Kaluza-Klein -teoriassa, jonka perusidea on nykyisen säieteorian yksi perusta) ehdottama "paradoksi": Diracin hiukkaset voivat näet sopivissa olosuhteissa läpäistä potentiaalivallin siitä lainkaan siroamatta. Tämä johtuu siitä, että potentiaalivallin sisällä elektroneja vastaavalla energialla on aukkotiloja (suhteellisuusteoriassa antihiukkastiloja), jotka kytkeytyvät täysin elektroneihin. Kleinin paradoksia ei ole koskaan havaittu, mutta grafeenirakenteissa sen uskotaan olevan merkittävä ilmiö.

Grafeenissa siis mielenkiinto on kahdenlaista: kaksidimensioisuudesta ja aineen äärimmäisestä puhtaudesta johtuen uskotaan, että sille löytyy monenmoisia sovelluksia elektroniikassa. Toisaalta grafeenia tutkittaessa voidaan löytää kokonaan uudenlaista fysiikkaa. Yksi tällainen ilmiö on jo havaittu: grafeenissa nk. kvantti-Hall -ilmiö on hyvin toisenlainen kuin puolijohderakenteissa; nk. Landau-tasot saadaan erilaisilla magneettikentän arvoilla. Lisäksi grafeeni on ensimmäinen aine jossa kvantti-Hall -ilmiö on pystytty toteamaan huoneen lämpötilassa. Muita eksoottisia grafeeni-ilmiöitä tutkitaan mm. "laaksotroniikassa" (valleytronics), jossa olennaisesti grafeenin pseudospiniin (tai itse asiassa vastaavaan käänteishilan suureeseen) liittyen pyritään tekemään samanlaista fysiikkaa kuin spintroniikassa. Toinen mielenkiintoinen aihealue on ballistisen (puhtaan) grafeenin käytös lähellä nk. Diracin pistettä (pistettä jossa elektronit ja aukot ovat täysin symmetrisiä). Siellä elektronien tilatiheys häviää, mutta samaan aikaan sirontamekanismit ovat poissa. Tuloksena on hieman kuin grafeenielektronit diffundoituisivat puhtaassa rakenteessa.

No, saa nähdä kuinka pitkään grafeeni-intoa riittää. Se todennäköisesti riippuu siitä minkälaisia muita uusia ilmiöitä lähitulevaisuudessa löydetään.