Ovatko fundamentaalitkin teoriat efektiivisiä?

Olen jutellut Delftissä vierailulla olevan brasilialaisen teoreettisen fyysikon kanssa. Hänellä on Delftissä todella kiehtova projekti: tarkoitus on tutkia sähköisten piirien teoriaa polkuintegraaliformalismissa, erityisesti luoda metriikka piirejä kuvaaville efektiivisille kentille. Tämä on haastavaa, koska yleisesti ottaen fyysikot osaavat laskea vain kvadraattisia polkuintegraaleja, joiden metriikka on melko triviaali. Pienissä sähköisissä piireissä vuorovaikutukset tekevät ongelmasta ei-kvadraattisen, ja siten metriikka muuttuu.

Yritän nyt selittää projektin takana olevan filosofian. Jos selitys menee yli hilseen, se saattaa johtua siitä että en sitä täysin itsekään ymmärrä. Juuri siksi kirjoitan tätä selitystä. Yllämainitsemani keskustelun lisäksi innoituksenani on ollut MIT:n professorin (?) Xiao-Gang Wenin kirjan "Quantum Field Theory of Many-Body Systems" ensimmäinen luku, joka löytyy myös webistä.

Koulussa opimme, että perustavimmalla tasollaan modernin fysiikan käsityksen mukaan maailmankaikkeus koostuu joistain perushiukkasista ja niiden välisistä vuorovaikutuksista. Näitä hiukkasia ja vuorovaikutuksia kuvaava teoria on kvanttimekaniikka, joka on eräänlainen sääntökokoelma jonka avulla hiukkasista ja vuorovaikutuksista päästään havaittuihin suureisiin, observaabeleihin. Gravitaatiota eli painovoimaa lukuunottamatta ei ole löydetty ilmiötä jonka olisi voitu näyttää rikkovan tätä hiukkasten, vuorovaikutusten ja kvanttimekaniikan kolmiyhteyttä eli niinkutsuttua standardimallia. Mutta voimmeko kuvitella että vaikkapa metson soidinpuuhat voidaan selittää yksinomaan näillä aineksilla? Metso koostuu arviolta 10^(24) "alkeishiukkasesta". Kuten Wen toteaa kirjassaan, jo 200 vuorovaikuttavan elektronin systeemin dynamiikan laskemiseen täsmällisesti nykylaskutekniikoilla tarvittaisiin koko tunnetun maailmankaikkeuden kokoinen tietokone. Selvitäpä siinä sitten toimiiko standardimalli. Voi olla että toimii, mutta eipä siitä tuolla tasolla enää ole paljoa hyötyä.

Pelastukseksi tulevat efektiiviset teoriat. Niiden mukaan meidän ei tarvitsekaan tietää kaikkien 10^(24) hiukkasen dynamiikkaa kuvaillaksemme täsmällisesti haluamaamme ilmiötä. En nyt uskottele että metson soidinpuuhia tällä tavoin selitetään, mutta sen soluissa tapahtuvia ilmiöitä kylläkin. Yksi tällainen ilmiö on sähkönjohtavuus. Tehdäksemme teoriaa sähkönjohtavuudesta emme tarkalleen ottaen aloita yksittäisistä vuorovaikuttavista atomeista ja elektroneista. Osa teorian osista kuten kiteiden vyörakenne perustuu kyllä mikroskooppiseen malliin, mutta sähkönjohtavuuden selitykseen emme tarvitse juuri sitäkään (paitsi silloin kun haluamme erotella toisistaan eristeet ja metallit). Osoittautuu, että voimme olettaa metallien johtavuuselektronit lähes vapaiksi hiukkasiksi, jotka liikkuvat metalliatomien muodostamassa efektiivisessä vakuumissa (tyhjiössä). Tuo vakuumi on efektiivinen, koska suurilla energioilla se rikkoutuu. Jos siis esimerkiksi ajamme metallin läpi oikein suurta virtaa, kiteen lämpöliike kasvaa ja se saattaa sulaa. Tällöin vakuumi hajoaa. Okei, elektronit ovat siis vapaita, mutta äärellinen johtavuus johtuu kiteen epämuodostumista ja värähtelyistä. Tällainen teoria kuvaa erittäin hyvin johtumista.

Se että teoria on efektiivinen ei tarkoita ettei sen tarvitsisi olla tarkka. Puolijohdetekniikassa (ja nykyään grafeenissa) osataan rajoittaa elektronien kulku tasoon eli kahteen ulottuvuuteen. Tällöin meillä on vapaita elektroneja tasossa, ja efektiivinen teoria toimii jälleen. Nyt jos asetamme tällaisen elektronisysteemin suureen magneettikenttään, johteeseen muodostuu nk. Landau-tasoja. Tämä on kvantti-Hall -ilmiö. Osoittautuu että tuloksena Landau-tasoista johteen vastus kvantittuu Planckin vakion ja elektronin varauksen määräämään arvoon (n. 25.6 kOhmia). Vaikka tämä arvo saatiin "vain" efektiivisestä teoriasta, se on niin tarkka että kvantti-Hall -mittauksen avulla on määritelty resistanssin standardi, ja sen avulla on pystytty mittaamaan Planckin vakio tarkemmin kuin millään muulla keinoin. Selvitetty tarkkuus on muistaakseni noin yhdeksän merkitsevää numeroa, mutta tässäkin vastaan on tullut käytettyjen mittalaitteiden tarkkuus, ei niinkään itse efektin.

Nyt pääsenkin sitten viimein otsikkoni asiaan. Tiiviin aineen fysiikka on täynnä ilmiöitä, joissa efektiivinen teoria kuvaa tutkittua ilmiötä erittäin tarkkaan. Läheskään aina kyseistä teoriaa ei ole pystytty täysin allaolevasta "fundamentaalimmasta" teoriasta johtamaan. Moni tällainen efektiivinen teoria on yksinkertainen ja - Wenin sanoin - kaunis. Itse asiassa paljon yksinkertaisempi kuin se allaoleva teoria, joka johtavuuden tapauksessa vaatii kiderakenteen, elektronien vyörakenteen, Landaun kvasihiukkasteorian ja monen muun osasen ymmärtämisen. Mistä siis tiedämme että standardimallin kuvaama teoria on "fundamentaalinen", eli ettei sen alla ole enää mitään? Se voi olla ihan yhtä hyvin efektiivinen teoria, jossa elektronit, kvarkit, fotonit ja muut syntyvät allaolevan teorian matalaenergiarajana.

Wen lainaa myöskin 2500 vuotta sitten elänyttä kiinalaista filosofia Lao Zitä. Tämän ajatus modernin fysiikan kielelle sovellettuna on: kaikki maailmankaikkeutta kuvaavat teoriat jotka voidaan formuloida ovat epätäydellisiä ja jonkin suuremman teorian yksinkertaistuksia. Silti ne ovat hyödyllisiä, koska ne auttavat ymmärtämään maailmankaikkeuden rakennetta paremmin.

Voisin muuten vetää aasinsillan Suomen fyysikkopiireissä melko yleiseen innostukseen laskea suurten systeemien ominaisuuksia ab initio eli joistain elementaareista lähtökohdista käsin. Tämänkaltaisessa "teoriassa" se jolla on suurin tietokone on paras "teoreetikko", koska hän voi simuloida suurinta systeemiä. Minusta kuitenkin fysiikan ymmärtämisen kannalta paljon hyödyllisempää on etsiä efektiivinen teoria joka kuvaa systeemiä mahdollisimman hyvin. Brasilialaisen ystäväni mukaan tällainen teoria koostuu vain ja ainoastaan niistä osasista joita halutaan kuvata - vain niistä observaabeleista tai kentistä joita havaitaan tai manipuloidaan. Tällaisia on tyypillisesti paljon vähemmän kuin 10^(24).