Reikämäisyyden laskemista ja sen sellaista

Viime blogitekstistäni on nyt lähes kolme vuotta. Kirjoittaminen ei ole koskaan ollut vahvin puoleni, useimmiten tekstiä joutuu puristamaan ulos. Joskus tosin se vain tulee jostain automaattisesti. Itse asiassa alkuperäinen blogini idea oli harjoitella vapaata kirjoittamista - vastakohtana tieteellisten artikkelien hitaalle työstämiselle. Ehkäpä siitä olisi apua toisaalta tieteen popularisoinnissa, toisaalta myös parempien tieteellisten "papereiden" kirjoittamisessa.

Olen huomenna lähdössä Espanjaan konferenssiin, jossa minulla on kutsuttu puhe. Aiheeni on itselleni uusi, se liittyy viimeaikojen fysiikan muoti-ilmiöön eli topologisiin aineisiin. En ole aiheen huippuasiantuntija, joten puheessa pitää sanat asetella tarkkaan. Kuulijoissa nimittäin noita huippuasiantuntijoita riittää.

Topologisten aineiden idean kansantajuistaminen on haasteellista. Siispä yritän sitä tässä. Fysiikassa on kaksi tapaa luokitella aineita: niiden symmetrian ja topologian mukaan. Lisäksi sitten molempia voi ilmetä niin helpommin käsitettävässä reaaliavaruudessa kuin hieman haasteellisemmassa liikemääräavaruudessa. Viimeaikainen huomio on keskittynyt erityisesti aineiden topologiseen luokitteluun liikemääräavaruudessa.

Topologinen luokittelu on kuitenkin helpointa havainnollistaa reaaliavaruudessa. Tyypillisin esimerkki on vertailla donitsia ja korvatonta tai korvallista kahvikuppia. Matemaattinen topologi laskee näiden esineiden reikien määrän. Esineiden yksityiskohtainen muoto ei ole tärkeää, koska erilaisin koordinaattimuunnoksin niitä voidaan muotoilla mielin määrin. Mutta reikiä ei saa hävitettyä koordinaattimuunnoksilla. Siten donitsi on samassa topologialuokassa korvallisen kahvikupin kanssa (yksi reikä), mutta eri luokassa kuin korvaton kahvikuppi (reikiä nolla).

Liikemäärän topologisessa luokittelussa käytetään hyväksi hiukkasten (yleensä elektronien) dispersiorelaatiota eli energian ja liikemäärän välistä yhteyttä. Vapaassa avaruudessa elektroneilla on massa, ja niiden suhteellisuusteoreettinen energia voidaan lausua muodossa

E^2 = m^2 c^4+ p^2 c^2, missä ensimmäinen termi on Einsteinin löytämä massaan liittyvä energia ja toinen on liikemäärään p liittyvä energia (c on valon nopeus). Tällaisella energialla ei ole nollakohtia liikemääräavaruudessa, eli "reikiä". Valokvantit eli fotonit ovat massattomia, joten energia on lineaarinen liikemäärän funktio: E=cp. Tällaisella relaatiolla on nollakohta (kun p=0), joka vastaa tuota topologisen luokittelun reikää. Koordinaattimuunnoksilla ei reikien määrää pysty muuttamaan, eli tuo määrä on hiukkasia luokitteleva ominaisuus. Itse asiassa hiukkasfysiikassa hiukkaset voidaan luokitella niiden topologisten varausten mukaan.

Väliaineissa elektronien dispersiorelaatio on vapaata avaruutta monimutkaisempi. Eristeissä energialla ei ole nollakohtia, vaan suhteellisuusteoreettista massatermiä vastaa niiden energia-aukko johtavuus- ja valenssivyön välillä (tai itse asiassa tuo aukko on kaksi kertaa tuon energian massatermin kokoinen). Johteilla on nk. Fermi-pinta, jossa energia on nolla. Fermi-pinnalle voidaan määritellä nk. topologinen invariantti, joka kuvaa tuota dispersiorelaation reikäisyyttä. Viimeisen vuoden aikana on kiinnostuttu semimetalleista (en tiedä onko puolimetalli oikea käännös, koska on olemassa myös "half-metal" -niminen aine). Kun metalleissa Fermipinnan dimensio on yleensä yhden avaruuden dimensiota pienempi (esim. kolmiulotteisten rakenteiden Fermipinta on kaksiulotteinen), puolimetalleissa se on tätä pienempi, eli kolmiulotteisissa materiaaleissa joko nollaulotteinen piste tai yksiulotteinen viiva. Tunnetuin esimerkki on kaksiulotteinen grafeeni (ks. aikaisemmat blogini), jonka elektronien dispersiota kuvaa kartiomainen Diracin dispersio - eli sama kuin fotonilla paitsi että valonnopeus on muutettu Ferminopeudeksi. Liikemääräavaruudessa on siis piste jossa energia menee nollaan. Nyt topologinen invariantti ei kuitenkaan mittaa pelkästään nollien määrää, vaan myös niiden laatua. Lineaariselle dispersiolle E=vp invariantti saa arvon yksi. Kaksitasografeenissa dispersio onkin kvadraattinen, muotoa E=a p^2, missä a liittyy tasojen väliseen kytkentään. Tässä tapauksessa topologinen invariantti on sitten kakkonen.

Viimeaikojen muodikkain materiaali ei ole metalli tai puolimetalli vaan topologinen eriste. Tällaisessa eristeessä johtavuustaso ja valenssivyö ovat vaihtaneet roolia, ja tästä aiheutuen materiaalille on voitu määritellä oma topologinen invarianttinsa. Topologisesti mielenkiintoiset ja triviaalit eristeet siis poikkeavat toisistaan.

Mielenkiintoiseksi topologiset aineet tekevät niiden reunatilat. Kun reikäistä materiaalia ei matematiikassa voi jatkuvilla muunnoksilla muuntaa reiättömiksi, fysiikassa topologisesti mielenkiintoista (eli jossa topologinen varaus on vaikkapa yksi) ainetta ei saa topologisesti triviaaliksi millään adiabaattisella muunnoksella eli sellaisella joka säilyttää systeemin perustilassaan. Tästä syystä topologisesti mielenkiintoisen (esim. topologisen eristeen tai puolimetallin) ja topologisesti triviaalin (esim. vakuumin) välille muodostuu nollaenergiatila, joka kuvaa siirtymää kahden eri topologisen varauksen omaavien systeemien välillä. Nuo reunatilat määrittävät useita topologisten materiaalien ominaisuuksista, mikä siis kiinnostaa fyysikoita. Yksi esimerkki tästä on vastikään ehdottamamme idea topologisesti suojatusta korkean lämpötilan pintasuprajohtavuudesta. Mutta siitä lisää ehkäpä joskus myöhemmin.