Tuote nimeltä tutkija

Moni tutkija toimii nykyään yksityisyrittäjän tavoin: rahoitus omaan ja tutkimusryhmän palkkaan on haettava ”markkinoilta” eli rahoittajilta, mutta toisaalta voi ja pitää itse määrätä mihin suuntaan työtä suuntaa. Yliopisto toimii yrityshotellina, josta voi rahoitusten overheadeilla (mitä tuo on suomeksi?) ostaa tila-, taloushallinto- ja muita palveluja.

Tutkijan on myös myytävä oma tuotteensa vaativille markkinoille, pääosin omille kollegoilleen. Myyntityöhön ei riitä hyvä tuote eli tutkimustulos, vaan sitä on myös ahkerasti markkinoitava alan messuilla eli konferensseissa. Myös kahdenkeskiset yhteydenotot ovat suotavia. Hiukan ehkä normaalista yritysmaailmasta poikkeaa se, että tutkimustuloksen julkistuksen jälkeen tutkija toivoo, että mahdollisimman moni rupeaisi sitä kopioimaan, tietenkin sillä ehdolla että viittaukset alkuperäistyöhön ovat kunnossa.

Tällaisessa maailmassa tutkijan on brändättävä paitsi ideansa, myös itsensä. Omat www-sivut ovat must, kutsutut puheet isoissa kokouksissa nostavat brändiarvoa ja helpottavat viestin läpimenoa. Tutkijan mukaan nimetty teoria, yhtälö, menetelmä tai muu tuote nostavat tutkijan nimen kuolemattomaksi. Ainakin pariksi seuraavaksi vuodeksi.

Mutta onko tuo kaikki hyvä asia? Tieteen kehityksen kannalta on tärkeää, että mahdollisimman suuri osa tutkijoista nimenomaan pyrkisi tuottamaan alkuperäisiä ideoita. Periaatteessa se, että joudumme myymään tuotteemme voi johtaa tähän. Samalla kuitenkin markkinoiden ehdoilla toimiva tiedemaailma on muotien vietävissä: Epämuodikasta mutta alkuperäistä tutkimusta tekevä tutkija ei saa virkoja tai lisärahoitusta. Kaikki munat pyritään keräämään samaan koriin. Tällaisessa maailmassa matemaatikko Andrew Wilesin tarina on mielestäni rohkaiseva: Vuonna 1986 hän päätti keskittyä pelkästään yhteen ongelmaan ja työskenteli sen parissa seuraavan vuosikymmenen. Vuonna 1993 hän esitti julkisuuteen ensimmäisen ratkaisun, ja kun siitä löytyi vielä aukkoja, hän käytti vielä kaksi vuotta ne tukkiakseen. Tuloksena oli 1600-luvulla eläneen matemaatikko Pierre de Fermat’n kuuluisan viimeisen teoreeman todistus.

Sitä ei tarvinnut erikseen brändätä.

Teksti on julkaistu Suomen Akatemian verkkolehdessä 9.10.2012.

Tarina

Tähän alkuun minun piti kirjoittaa havainnollistava tarina fyysikosta, joka kehitti mullistavan teorian tai teki tärkeän kokeellisen löydön. Sen piti olla kertomus sattumasta, muiden hyljeksinnästä tai jotain sellaista, joka saisi lukijan muistamaan, paitsi tarinan, myös itse fysiikan ilmiön. Olisin voinut kertoa vaikkapa kvasihilojen teorian kehittelijästä Dan Shechtmanista, joka sai viime vuonna Nobelin kemian palkinnon. Hän sai 1980-luvulla potkut työpaikastaan niin "typerää" asiaa ehdotettuaan. Tai murtoluku-kvantti-Hall -teoriasta Nobelin palkinnon saaneesta Robert Laughlinista, joka taannoin eräässä konferenssissa väitti puhujan esittelevän vain arvailuja, mihin kollegani Yuli Nazarov tokaisi: "Bob, sinä sait Nobelin palkinnon arvauksesta!" Hyvien tarinoiden keksiminen on tieteessä tärkeää, mutta ei kovin yksinkertaista. Parhaimmillaan luonnontieteidenkin tiedeartikkeli on hyvä tarina, huonoimmillaan faktojen luettelua.

Joidenkin sosiologien mielestä luonnontiede on sosiaalinen konstruktio, eli kertoo enemmän ihmisestä kuin luonnosta. Minä olen eri mieltä. Kokeellista tulosta selittäessäni voin yrittää tarinoida mitä vain, mutta jos konstruoimani teoria ei ole yhtäpitävä fysiikan lainalaisuuksien kanssa, se tuskin selittää mitään. Kokeelliset käyrät eivät sovi väärään teoriaan – tosin kuten kaikki Taylorin polynomin tuntevat tietävät, yhteensopivatkaan käyrät eivät todista teoriaa. Silti toki kieli, jolla luonnon ilmiöitä selitämme, on ihmisen luomaa, eikä edes sellaisena yksikäsitteistä. Joitakin ilmiöitä voi hyvinkin kuvata onnistuneesti useammanlaisella tarinalla, kunhan ne ovat keskenään yhtäpitäviä. Tarinoiden (lue: teorioiden) kieli voi poiketa toisistaan paljonkin, ja monesti yhtäpitävyyden voi todeta vain niistä saaduista ennusteista. Otan esimerkin omasta tutkimusaiheestani. Olen tutkinut viime aikoina elektronien lämpötilan vaihtelua, fluktuaatiota, pienissä sähköisissä metallisaarekkeissa. Lämpötila fluktuoi, kun saareke kytketään ulkomaailmaan. Kytkentään liittyvät energiahäviöt saavat aikaiseksi energiavuon vaihtelua, mikä sitten johtaa saarekkeen kokonaisenergian vaihteluun. Kunhan tietyt ehdot toteutuvat, tätä voidaan kuvata lämpötilan fluktuaationa. 1980-luvun lopulla tunnettu fyysikko Charles Kittel kertoi, että sana lämpötilafluktuaatio on oksymoron, eli ilmaisu, joka sisältää sisäisen ristiriidan. Muita esimerkkejä oksymoronista olivat makea suru (sweet sadness) ja military intelligence, jonka käännös sotilastiedustelu ei taida ihan tavoittaa Kittelin alkuperäistä vitsiä. No, tässä tapauksessa me kuitenkin onnistuimme määrittämään käsitteen ristiriidattomasti. Joissain virtapiireissä lämpötilan vaihtelu voidaan mitata virran kohinasta. Tuon kohinan tarkastelu voitaisiin periaatteessa tehdä myös ilman lämpötilafluktuaation kuvausta, mutta sillä tavoin teoria olisi paljon vaikeampi ymmärtää.

Ilmiöiden nimeäminen fysiikassa ja varmasti muissakin tieteissä on tärkeää. Niihin liitetään se tarina, jota mietimme nimen kuullessamme. Erityisesti korkean energian fysiikassa näyttäisi siltä, että kun havaitaan uusi ilmiö, jota ei kunnolla ymmärretä, tärkeintä on antaa sille kuvaava nimi. Nykypäivänä tällaisia ilmiöitä ovat esimerkiksi pimeä aine ja pimeä energia. 1930-luvulla Wolfgang Pauli halusi ymmärtää liikemäärän säilymislain beetahajoamisessa, ja tehdäkseen tämän nimesi uusia hiukkasia, neutriinoja. Moni ei-fyysikkokin on viime syksyn jälkeen kuullut neutriinoista, joiden väitettiin mittauksen mukaan kulkevan yli valon nopeudella. Nyt koejärjestelystä on löydetty ongelmia, mikä saattaa muuttaa johtopäätöstä. Uutinen lienee kuitenkin opettanut neutriino-nimen monen luonnontieteistä vähemmänkin kiinnostuneiden mieleen.

Parhaimmillaan hyvä tarina toimii kokonaisen tutkimusalan motiivina. Kymmenisen vuotta sitten Roger Penrose kollegoineen ehdotti, että gravitaatio voisi heikentää suurten kvanttimekaanisesti käyttäytyvien värähtelijöiden superpositiotilaa, eli aiheuttaa dekoherenssia. Ilmiön avulla voisi siis yrittää yhdistää kvanttimekaniikan ja suhteellisuusteorian. Kukaan ei tiedä tarkkaan kuinka tehokas efekti olisi, tai onko sitä edes olemassa. Silti nanomekaniikan tutkijat viittaavat Penrosen tutkimuksiin jatkuvasti yhtenä syynä tutkia nanomekaanisten värähtelijöiden kvanttiominaisuuksia. Toki alalla on muitakin maanläheisempiä tavoitteita kuin kvanttigravitaation tutkimus, mutta niistä ei saa kerrottua yhtä hyvää tarinaa.

Tiede ei tosiaankaan ole mitään tylsien faktojen luettelointia, vaan tutkimuksen tekeminen ja siitä kertominen vaativat paljon mielikuvitusta. Parhaimmat tutkimusartikkelit kertovat mielenkiintoisen tarinan sekä tutkitusta ilmiöstä, että ilmiön löytämiseen johtaneesta työstä. Eikä se tarina ole satua. 

Teksti on julkaistu Suomen Akatemian verkkolehdessä 15.3.2012

Vastustan auktoriteetteja, mutta haluaisin olla sellainen

Kävin Espoon modernin taiteen museossa EMMAssa katsomassa Joan Miron näyttelyä. Kuten usein käy, näyttely herätti ajatuksia. ”Miksi juuri nämä työt koetaan huipputaiteeksi eivätkä jotkin toiset?” ”Kuka päättää sen kuka on huipputaiteilija?” Miron veistosten taidokkuuden näkee jo minun kaltaiseni maallikkokin, tosin niiden sisällön tulkinta on sitten hankalampaa. Maalauksista tulee mieleen ensimmäiseksi ajatus, että omat lapseni olisivat voineet maalata samanlaisia. Miksi siis he eivät ole taiteessa samassa asemassa kuin Miro?

Kuten taiteessa, myös tieteessä meidän kuolevaisten tutkijoiden yli nostetaan usein tähtiasemaan valikoituja tieteilijöitä. Enkä nyt tarkoita pelkästään Einsteinia ja Feynmania, vaan vaikkapa ihan oman alani trendsettereitä, jotka ovat ehkäpä vieraita yleisölle, mutta tunnettuja alan piirissä. Tämä korostuu erityisesti teoreettisessa fysiikassa kokeellisiin tieteisiin nähden, tosin uskoisin humanistisissa tieteissä tapahtuvan samoin. Toisten ajatuksia kuunnellaan enemmän kuin toisten. Suuri osa tutkijoista haluaisi päästä jopa auktoriteettiasemaan, eli määräämään mikä tieteessä on juuri nyt mielenkiintoista. Ja tunnustan itsekin siitä välillä unelmoivani. Joillekin se näyttää olevan jopa elämän tarkoitus, ja asemaan pyritään kaikin keinoin. Auktoriteeteilla on kuitenkin tieteessä vähän horjuva asema. Ihmiselle on luontaista, ja monesti edullistakin, seurata noita auktoriteetteja. Toisaalta nimenomaan auktoriteetteja kyseenalaistamalla tiede kehittyy.

Auktoriteetit ovat toki hyödyllisiä. Jos joku on saanut jonkinlaisen kollektiivisen arvostuksen omalla alallaan, moni on todennut hänen ideansa hyviksi. Tällaiseen tutkijaan on helpompi luottaa kuin johonkuhun toiseen, vaikka itse ei olisikaan päässyt suoraan arvioimaan hänen kykyjään. Jos nobelisti epäilee tekemäni oletuksen pitävyyttä, suhtaudun asiaan paljon vakavammin kuin jos epäilijänä on kurssini perusopiskelija. Tässä piilee kuitenkin myös auktoriteettien vaara. Nobelisti voi olla väärässä siinä missä perusopiskelija on oikeassa.

Museoesittelijän kanssa juteltuani ymmärsin, ettei ajatukseni Miron maalausten samankaltaisuudessa tyttärieni taiteeseen ollut aivan kerettiläinen. Miro oli nimenomaan tavoitellut lapsenomaisuutta, joskin jossain mielessä työt olivat tähän liiankin huoliteltuja.

Modernit taiteilijat – nekin jotka nyt nähdään auktoriteetteina – taisivat olla lopulta saman kysymyksen edessä. Toisaalta oli hyvä saada ideoita aikaisemmilta suuruuksilta, toisaalta oli tärkeää luoda oma näkemys. Taide ei ole hyvää siksi, että joku (ylhäältä päin) sanoo sen olevan, vaan olennaista on yleisön kokemus. Ja uudet ajatukset joita taide herättää. Kiitos Mirolle ja EMMAlle niistä.

Blogiteksti on julkaistu Suomen Akatemian verkkolehdessä 13.6.2011

Ymmärtämättömyydellänikö

Monen ulkopuolisen mielestä tieteessä on tärkeää tietää. Me tutkijat tiedämme, että vielä tärkeämpää on tietää mitä ei tiedä, koska juuri tietämättömyydessä on uuden tiedon siemen. Lause ”en ymmärrä” kuulostaa toivottoman opiskelijan lausahdukselta tenttipäivän aamuna. Parhaimmillaan kuitenkin juuri tuossa lauseessa piilee toivo paremmasta. Ehkäpä jonain päivänä ymmärrän. Ainakin jotain.

Parhaimmat tutkimusprojektini ovat lähteneet juuri tuosta ymmärtämättömyyden tilasta. On ollut tunnettu koeasetelma, johon on pitänyt lisätä jokin uusi elementti. Aluksi ei ole selvää, miten tuo uusi elementti vaikuttaa oikein mihinkään, ja ongelma näyttää hahmottumattomalta mössöltä. Hiljalleen alan – tai yleensä kollegoideni kanssa alamme – ymmärtää mitä emme asiassa ymmärrä. Keksimme kysymyksiä, joihin on mielekästä hakea vastauksia. Tässä vaiheessa projekti on jo edennyt sen yhden prosentin inspiraatiovaiheen yli. Jäljellä on enää yhdeksänkymmentäyhdeksän prosenttia perspiraatiota. Mutta ilman tuota tietoista ymmärtämättömyyttä hiki valuu hukkaan eikä käteen (tai päähän) jää mitään.

Ai niin, tässä vaiheessa on syytä todeta, että olen teoreettinen fyysikko. Olen töissä kokeellisen fysiikan laboratoriossa, joten pyrin yleensä luomaan malleja erilaisista koetilanteista. Uskon kuitenkin, että yllä kuvaamani asetelma on melko yleinen, ja se pätee niin luonnontieteilijöiden kuin humanistienkin projekteihin. Tai ainakin osaan niistä. Koen, että omassa työssäni yksi tärkeimmistä tehtävistäni on identifioida tutkimusprojekteissa asiat, jotka olisi hyvä ymmärtää, mutta joita emme syystä tai toisesta ymmärrä. Tietenkin sitten se hikoilukin on oleellista, eli vastausten hakeminen.

Teoreettinen fysiikka edistyy usein hyvien kysymysten löytymisen kautta. Suprajohtavuuden teorian Nobelin palkinto meni ryhmälle, jossa kerran ihmeteltiin mitä tapahtuisi, jos elektronit eivät hylkisi toisiaan, vaan vetäisivät luokseen. Yksi nykytutkimuksen muotialoista on topologiset eristeet. Ala syntyi, kun muutama teoreetikko mietti miten voisi luonnehtia jotenkin yksinkertaisesti erityyppisten kiinteiden aineiden elektronirakenteita. Tätä oli tehty kymmeniä vuosia, mutta yleensä tulos oli monimutkaisia käyriä, jotka useimmille näyttivät hahmottomalta mössöltä. Nämä teoreetikot keksivät, että elektronirakennetta voi luonnehtia erilaisilla topologisilla invarianteilla, jotka yhtenäistävät elektronirakenteesta saatua tietoa. Tässäkin tapauksessa kysymys oli yhtä tärkeä kuin vastaus.

On tietenkin kaksi tapaa suhtautua lauseeseen ”en ymmärrä”. Alistuva, ”enkä tule koskaan ymmärtämäänkään”, ja mahdollistava ”ehkä joskus ymmärrän”.  Jälkimmäinen on hyvän tieteen ydin.

Blogiteksti on julkaistu Suomen Akatemian verkkolehdessä 23.11.2010. 

Ajattelin taas aktivoitua bloginkirjoittajana. Olen kirjoitellut viimeisten muutaman vuoden aikana blogeja Suomen Akatemian verkkosivuille. Siirrän ne seuraavaksi myös tänne, joten vanhojakin tekstejä voi kommentoida. Sen jälkeen ajattelin hiljakseen kirjoittaa tekstejä aiheesta "fysiikan suuria ajatuksia". Tarkoituksenani on popularisoida ajatuksia, jotka ovat innoittaneet minua ne kohdatessani. Nyt heti mieleeni tulee seuraavia:
- Skaalainvarianssi
- Symmetrian ja säilymislakien yhteys
- Topologinen suojaus, eli miksi kokonaisluvut ovat jämäkämpiä kuin reaaliluvut.

Näistä varmaan nyt sitten kirjoitan lähiviikkojen aikana, kun inspiraatio iskee. Samalla tullee mieleen sitten muutakin.

Onko Kaiken Teoria nollatutkimusta?

Onko Kaiken Teoria nollatutkimusta?

Kari Enqvistin mukaan hiukkasjoukkojen ominaisuuksia kuvaavat teoriat eivät lisää mitään yksittäisiä hiukkasia ja niiden vuorovaikutuksia kuvaavaan teoriaan. Pikemminkin ne vähentävät huomattavan määrän informaatiota kaikkia yksittäisiä hiukkasia erikseen kuvaavasta teoriasta. (Tarkka sitaatti: "Emergenssi on nimenomaan ymmärrettävissä reduktionismin puitteissa ja johtuu informaation katoamisesta".) Matemaattisen realismin mukaan yksittäisten ja monien hiukkasten välinen siirtymä on pelkkä siirtymä matemaattisessa kuvauksessa. Voin tehdä siis analogian Enquistin emergenssikäsityksestä lukuteoriaan. Lukuteorian mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan "konstruoida" nolla-alkiota monistamalla (Peanon aksioomat) ja kokonaisluvut saadaan mukaan hyväksymällä negatiiviset luvut. Toisaalta murtoluvut voidaan konstruoida kokonaisluvuista, ja reaaliluvut saadaan mukaan täydentämällä murtoluvut äärettömien lukujonojen raja-arvoilla. Reaaliluvuista voidaan siirtyä moniulotteisiin vektoreihin ja ääretönulotteisiin funktioavaruuksiin samanlaisilla konstruktioilla. Funktioavaruuksien teoria on jo lähellä fyysikoiden kaiken teoriaa. Enquistin käsityksen mukaan tässä kaikessa ei lisätty mitään relevanttia informaatiota, eli "kokonaisuus on vähemmän kuin osiensa summa". Toisin sanoen, Enquistin mukaan Kaiken Teoria on sama tai vähemmän kuin nolla-alkio. Nollatutkimusta?

Reikämäisyyden laskemista ja sen sellaista

Viime blogitekstistäni on nyt lähes kolme vuotta. Kirjoittaminen ei ole koskaan ollut vahvin puoleni, useimmiten tekstiä joutuu puristamaan ulos. Joskus tosin se vain tulee jostain automaattisesti. Itse asiassa alkuperäinen blogini idea oli harjoitella vapaata kirjoittamista - vastakohtana tieteellisten artikkelien hitaalle työstämiselle. Ehkäpä siitä olisi apua toisaalta tieteen popularisoinnissa, toisaalta myös parempien tieteellisten "papereiden" kirjoittamisessa.

Olen huomenna lähdössä Espanjaan konferenssiin, jossa minulla on kutsuttu puhe. Aiheeni on itselleni uusi, se liittyy viimeaikojen fysiikan muoti-ilmiöön eli topologisiin aineisiin. En ole aiheen huippuasiantuntija, joten puheessa pitää sanat asetella tarkkaan. Kuulijoissa nimittäin noita huippuasiantuntijoita riittää.

Topologisten aineiden idean kansantajuistaminen on haasteellista. Siispä yritän sitä tässä. Fysiikassa on kaksi tapaa luokitella aineita: niiden symmetrian ja topologian mukaan. Lisäksi sitten molempia voi ilmetä niin helpommin käsitettävässä reaaliavaruudessa kuin hieman haasteellisemmassa liikemääräavaruudessa. Viimeaikainen huomio on keskittynyt erityisesti aineiden topologiseen luokitteluun liikemääräavaruudessa.

Topologinen luokittelu on kuitenkin helpointa havainnollistaa reaaliavaruudessa. Tyypillisin esimerkki on vertailla donitsia ja korvatonta tai korvallista kahvikuppia. Matemaattinen topologi laskee näiden esineiden reikien määrän. Esineiden yksityiskohtainen muoto ei ole tärkeää, koska erilaisin koordinaattimuunnoksin niitä voidaan muotoilla mielin määrin. Mutta reikiä ei saa hävitettyä koordinaattimuunnoksilla. Siten donitsi on samassa topologialuokassa korvallisen kahvikupin kanssa (yksi reikä), mutta eri luokassa kuin korvaton kahvikuppi (reikiä nolla).

Liikemäärän topologisessa luokittelussa käytetään hyväksi hiukkasten (yleensä elektronien) dispersiorelaatiota eli energian ja liikemäärän välistä yhteyttä. Vapaassa avaruudessa elektroneilla on massa, ja niiden suhteellisuusteoreettinen energia voidaan lausua muodossa

E^2 = m^2 c^4+ p^2 c^2, missä ensimmäinen termi on Einsteinin löytämä massaan liittyvä energia ja toinen on liikemäärään p liittyvä energia (c on valon nopeus). Tällaisella energialla ei ole nollakohtia liikemääräavaruudessa, eli "reikiä". Valokvantit eli fotonit ovat massattomia, joten energia on lineaarinen liikemäärän funktio: E=cp. Tällaisella relaatiolla on nollakohta (kun p=0), joka vastaa tuota topologisen luokittelun reikää. Koordinaattimuunnoksilla ei reikien määrää pysty muuttamaan, eli tuo määrä on hiukkasia luokitteleva ominaisuus. Itse asiassa hiukkasfysiikassa hiukkaset voidaan luokitella niiden topologisten varausten mukaan.

Väliaineissa elektronien dispersiorelaatio on vapaata avaruutta monimutkaisempi. Eristeissä energialla ei ole nollakohtia, vaan suhteellisuusteoreettista massatermiä vastaa niiden energia-aukko johtavuus- ja valenssivyön välillä (tai itse asiassa tuo aukko on kaksi kertaa tuon energian massatermin kokoinen). Johteilla on nk. Fermi-pinta, jossa energia on nolla. Fermi-pinnalle voidaan määritellä nk. topologinen invariantti, joka kuvaa tuota dispersiorelaation reikäisyyttä. Viimeisen vuoden aikana on kiinnostuttu semimetalleista (en tiedä onko puolimetalli oikea käännös, koska on olemassa myös "half-metal" -niminen aine). Kun metalleissa Fermipinnan dimensio on yleensä yhden avaruuden dimensiota pienempi (esim. kolmiulotteisten rakenteiden Fermipinta on kaksiulotteinen), puolimetalleissa se on tätä pienempi, eli kolmiulotteisissa materiaaleissa joko nollaulotteinen piste tai yksiulotteinen viiva. Tunnetuin esimerkki on kaksiulotteinen grafeeni (ks. aikaisemmat blogini), jonka elektronien dispersiota kuvaa kartiomainen Diracin dispersio - eli sama kuin fotonilla paitsi että valonnopeus on muutettu Ferminopeudeksi. Liikemääräavaruudessa on siis piste jossa energia menee nollaan. Nyt topologinen invariantti ei kuitenkaan mittaa pelkästään nollien määrää, vaan myös niiden laatua. Lineaariselle dispersiolle E=vp invariantti saa arvon yksi. Kaksitasografeenissa dispersio onkin kvadraattinen, muotoa E=a p^2, missä a liittyy tasojen väliseen kytkentään. Tässä tapauksessa topologinen invariantti on sitten kakkonen.

Viimeaikojen muodikkain materiaali ei ole metalli tai puolimetalli vaan topologinen eriste. Tällaisessa eristeessä johtavuustaso ja valenssivyö ovat vaihtaneet roolia, ja tästä aiheutuen materiaalille on voitu määritellä oma topologinen invarianttinsa. Topologisesti mielenkiintoiset ja triviaalit eristeet siis poikkeavat toisistaan.

Mielenkiintoiseksi topologiset aineet tekevät niiden reunatilat. Kun reikäistä materiaalia ei matematiikassa voi jatkuvilla muunnoksilla muuntaa reiättömiksi, fysiikassa topologisesti mielenkiintoista (eli jossa topologinen varaus on vaikkapa yksi) ainetta ei saa topologisesti triviaaliksi millään adiabaattisella muunnoksella eli sellaisella joka säilyttää systeemin perustilassaan. Tästä syystä topologisesti mielenkiintoisen (esim. topologisen eristeen tai puolimetallin) ja topologisesti triviaalin (esim. vakuumin) välille muodostuu nollaenergiatila, joka kuvaa siirtymää kahden eri topologisen varauksen omaavien systeemien välillä. Nuo reunatilat määrittävät useita topologisten materiaalien ominaisuuksista, mikä siis kiinnostaa fyysikoita. Yksi esimerkki tästä on vastikään ehdottamamme idea topologisesti suojatusta korkean lämpötilan pintasuprajohtavuudesta. Mutta siitä lisää ehkäpä joskus myöhemmin.